Matemática básica Ejemplos

$4 k^{\frac{4}{3}} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $k^{\frac{4}{3}}$ como ${(k^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$4 {(k^{\frac{2}{3}})}^{2} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = k^{\frac{2}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $k^{\frac{2}{3}}$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Paso 1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 16 = 64$ y cuya suma es $b = - 65$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $- 65$ de $- 65 u$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $- 65$ como $- 1$ más $- 64$

$4 u^{2} + (- 1 - 64) u + 16 = 0$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 64 u + 16 = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 64 u + 16 = 0$

Paso 1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - 16 (4 u - 1) = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 16) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $k^{\frac{2}{3}}$ .

$(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Paso 3

Establece $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 3.1

Establece $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ igual a $0$ .

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$ en $k$ .

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Paso 3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 k^{\frac{2}{3}} = 1$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $4 k^{\frac{2}{3}}$ .

$4^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$2^{3} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.1.1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.1.1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.3.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.3.1.1.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$8 k^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.4

Simplifica.

$8 k = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8 k = \pm 1$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$8 k = 1$

Paso 3.2.4.2

Divide cada término en $8 k = 1$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.2.1

Divide cada término en $8 k = 1$ por $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Paso 3.2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Paso 3.2.4.2.2.1.2

Divide $k$ por $1$ .

$k = \frac{1}{8}$

Paso 3.2.4.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$8 k = - 1$

Paso 3.2.4.4

Divide cada término en $8 k = - 1$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.4.1

Divide cada término en $8 k = - 1$ por $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Paso 3.2.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.4.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.2.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Paso 3.2.4.4.2.1.2

Divide $k$ por $1$ .

$k = \frac{- 1}{8}$

Paso 3.2.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$k = - \frac{1}{8}$

Paso 3.2.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}$

Paso 4

Establece $k^{\frac{2}{3}} - 16$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 4.1

Establece $k^{\frac{2}{3}} - 16$ igual a $0$ .

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$ en $k$ .

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Paso 4.2.1

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$k^{\frac{2}{3}} = 16$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1.1

Simplifica ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$k^{1} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$k = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.1

Simplifica $\pm 16^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.3.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.3.2.1.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$k = \pm {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$k = \pm 4^{3}$

Paso 4.2.3.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$k = \pm 64$

Paso 4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$k = 64$

Paso 4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$k = - 64$

Paso 4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$k = 64, - 64$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$ verdadera.

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

Forma decimal:

$k = 0.125, - 0.125, 64, - 64$